Urodził się w 1976 roku. Podczas studiów jakiś czas spędził na stażu na uniwersytecie w Durbanie. Zwiedził wtedy spory kawałek południowej Afryki i na dobre rozsmakował się w dalekich podróżach. Wspinania po raz pierwszy spróbował w 1996 roku. I od tamtego czasu  wspinanie zimowe stało się jego największą pasją.

Pierwszą poważną wyprawą wysokogórską Morawskiego była podróż na liczący 6995 metrów nad poziomem morza, położony na granicy Kirgizji i Kazachstanu szczyt Chan Tengri w 2001 roku, w którą wyruszył z członkami warszawskiego Klubu Wysokogórskiego.

W 2003 roku wziął udział w wielkiej zimowej wyprawie na K2. Choć został na nią zakwalifikowany z listy rezerwowych, to dotarł najwyżej z wszystkich biorących udział w przedsięwzięciu. Podczas wyprawy wraz z Denisem Urubko założył obóz IV na wysokości 7650 metrów nad poziomem morza. Jest to do tej pory najwyższy punkt, jaki osiągnął człowiek zimą na tej drugiej co do wysokości górze świata. Sukces Morawski okupił jednak odmrożeniem i amputacją palca u nogi.
Doświadczenie zdobyte podczas tej trudnej wyprawy na K2, Morawski wykorzystał potem w 2005 roku podczas wspinania się na mierzącą 8027 metrów nad poziomem morza Shisha Panagmę. Wraz z Włochem- Simone Moro, Morawski zdobył wówczas- dotychczas nieosiągalny zimą- ośmiotysięcznik. Osiągnął kolejny wielki sukces.

Kolejne lata przynosiły kolejne „wojaże” w górach wysokich. Podczas Tryptyku Himalajskiego organizowanego przez mistrza Morawskiego- Piotra Pustelnika, w 2006 roku poznał Petera Hamora ze Słowacji, z którym szybko się zaprzyjaźnił i przez następne lata Morawski tworzył „zgrany zespół”. Przyjaciele podczas wspólnych wypraw wybierali niemal zawsze trasy nowe, nieuczęszczane i bardziej niebezpieczne. Efektem ich ambitnej współpracy było chociażby przejście trawersu Gasherbruma I (8068 metrów nad poziomem morza) w czystym stylu alpejskim. W roku 2007 po raz kolejny zdobył K2.

Za swoje osiągnięcia otrzymał wiele nagród.

Współpracował z National Geographic i- od 2007 roku- z firmą Alpinus, która przez dwa lata pomagała mu realizować marzenia o kolejnych wysokogórskich wyprawach oraz po części sponsorowała jego treningi.

Lubił też biegać- regularnie startował w maratonach, jeździć na rowerze. Jednak jego kolejną, po wspinaczce wysokogórskiej, pasją stała się fotografia. Aparat i zestaw obiektywów taszczył ze sobą na każdy ośmiotysięcznik. Wykonane przez Morawskiego zdjęcia, pokazy slajdów czy diaporamy można było oglądać na wielu festiwalach górskich czy podróżniczych, wykładach czy przy okazji innych spotkań.

Prócz współpracy z „National Geographic”, działał także na łamach innych, mniej znanych magazynów górskich czy podróżniczych, a nawet tych „poza branżowych”, czyli takich, których tematyka nie była bezpośrednio związana z wyprawami wysokogórskimi. Publikował w nich swoje zdjęcia i felietony.   

Pracował jako adiunkt na Wydziale Chemicznym Politechniki Warszawskiej, w Zakładzie Chemii Fizycznej. Na początku 2005 roku obronił pracę doktorską. Pisał o wpływie „kształtu, wielkości i polarności cząsteczek na równowagi fazowe”.

Od 2007 roku był także wiceprezesem Polskiego Związku Alpinizmu.

Zginął 8 kwietnia 2009 roku podczas polsko- słowackiej próby zdobycia zachodniej ściany Manaslu w Nepalu, niedaleko szczytu Dhaulagiri w Himalajach. Toczone przez przyjaciela Morawskiego, wspomnianego już Słowaka Petera Hámora próby wydostania alpinisty ze szczeliny, do której wpadł podczas wspinaczki, nie powiodły się. Połamany Morawski zmarł z wycieńczenia i w wyniku doznanych podczas upadku obrażeń. Jego ciało- według zwyczaju- pozostawiono w szczelinie, w której zakończył życie… Alpinista w chwili śmierci miał zaledwie 33 lata. 

Już po śmierci Morawskiego w księgarniach ukazał się wydany nakładem wydawnictwa „Góry” zbiór jego felietonów, opowiadań oraz wspomnień jego przyjaciół, zatytułowany: „Zostają góry”. Dochód ze sprzedaży książki miał być przekazany rodzinie alpinisty- jego żonie i osieroconym synom.

Prezydent Lech Kaczyński odznaczył pośmiertnie himalaistę Krzyżem Kawalerskim Orderu Odrodzenia Polski „za wybitne zasługi dla rozwoju polskiego himalaizm i za rozsławianie Polski w świecie”.